Taylor-Serie

Entdecken Sie, wie Taylor-Reihen mithilfe von Polynomen komplexe Funktionen approximieren können.

Common Expansions (at a=0)

Exponential Function

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots

Sine Function

\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots

Cosine Function

\cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots

Geometric Series

\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots \quad (|x|<1)

How it Works

The logic is to match the function's value, slope, curvature, and higher-order derivatives at a specific point.

0th Order: Matches position ($f(a)$).
1st Order: Matches slope ($f'(a)$). Linear approximation.
2nd Order: Matches curvature ($f''(a)$). Parabolic approximation.
High Order: As $n \to \infty$, the polynomial hugs the curve tighter and further away from the center point.

General Term

\text{Term}_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n

Näherungsfunktionen

A Taylor series is a representation of a function as an infinite sum of terms that are calculated from the values of the function's derivatives at a single point. It allows complex functions (like sine, cosine, e^x) to be approximated by polynomials.

💡

Pro Tips

Mittelpunkt: Der Punkt „a“ ist der Punkt, an dem die Näherung am genauesten ist.
Vergessen Sie nicht das + C! Ohne sie haben Sie nur eine bestimmte Stammfunktion gefunden.
Vergessen Sie nicht das + C! Ohne sie haben Sie nur eine bestimmte Stammfunktion gefunden.

Fun Facts

"Benannt nach Brook Taylor, der sie 1715 einführte."
"Rechner verwenden Taylor-Reihen (oder ähnliche Algorithmen wie CORDIC), um Sinus, Cosinus und Logarithmen intern zu berechnen."

Formula: f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n

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