Dreifachintegrallöser

Werten Sie Dreifachintegrale über rechteckige Regionen aus, um Volumen, Masse oder Durchschnittswerte zu ermitteln.

Grenzen für rechteckige Boxen

X-Axis Interval

x₁ (start)

x₂ (end)

Y-Axis Interval

y₁ (start)

y₂ (end)

Z-Axis Interval

z₁ (start)

z₂ (end)

Integrationsergebnisse

60u³

Volume (V)

Das Volumen des rechteckigen Bereichs E, der durch die angegebenen Grenzen definiert wird.

Width (Δx)5.00

Depth (Δy)4.00

Height (Δz)3.00

Visualization

Region E is a rectangular box spanning the Cartesian intervals.

Was ist ein Dreifachintegral?

Ein Dreifachintegral ∭_E f(x,y,z) dV ist eine Verallgemeinerung von Doppelintegralen auf Funktionen von drei Variablen. Wenn f(x,y,z) = 1, stellt das Integral das Volumen der Region E dar. Dieser Rechner konzentriert sich auf rechteckige Regionen, auch „Boxen“ genannt, in denen die Grenzen für x, y und z konstant sind.

💡

Pro Tips

Der Satz von Fubini besagt, dass man bei rechteckigen Kästchen in beliebiger Reihenfolge integrieren kann (z. B. dxdydz oder dzdydx) und das gleiche Ergebnis erhält.
Vergessen Sie nicht das + C! Ohne sie haben Sie nur eine bestimmte Stammfunktion gefunden.
Verwenden Sie Dreifachintegrale, um den Massenschwerpunkt (Centroid) eines 3D-Objekts zu ermitteln.
Bei nicht rechteckigen Regionen beziehen Integrationsgrenzen häufig andere Variablen (Funktionen von x oder y) mit ein.

Fun Facts

"Dreifache Integrale sind im Elektromagnetismus von entscheidender Bedeutung für die Berechnung der gesamten elektrischen Ladung in einem 3D-Raum."
"In der Astrophysik werden sie zur Modellierung der Massenverteilung von Sternen und Galaxien verwendet."
"Der Angestellte Maxwell verwendete Volumenintegrale, um seine berühmten Gleichungen zur Beschreibung von Licht und Elektrizität zu formulieren."
"Volumenintegrale sind das 3D-Äquivalent der „Fläche unter der Kurve“ in der 1D-Rechnung."

Formula: V = ∫_{z₁}^{z₂} ∫_{y₁}^{y₂} ∫_{x₁}^{x₂} 1 dx dy dz = (x₂-x₁)(y₂-y₁)(z₂-z₁)

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