Solveur d'itérations Jacobi

Résolvez un système d'équations linéaires 2x2 en utilisant la méthode itérative de Jacobi.

Matrice A et vecteur b

Equation 1: a₁₁x + a₁₂y = b₁

a₁₁

a₁₂

b₁

Equation 2: a₂₁x + a₂₂y = b₂

a₂₁

a₂₂

b₂

Étapes de convergence

(1.000, 1.000)Solution Vector

Solution finale (x, y)

Step	Approx X	Approx Y
0	0.000	0.000
1	1.4000	1.3750
2	0.8500	0.8500
3	1.0600	1.0562
4	0.9775	0.9775
5	1.0090	1.0084
6	0.9966	0.9966
7	1.0013	1.0013
8	0.9995	0.9995
9	1.0002	1.0002
10	0.9999	0.9999

Convergence10 Iterations

Dominant?Row1 Yes

Qu'est-ce que la méthode Jacobi ?

La méthode Jacobi est un algorithme itératif permettant de déterminer les solutions d'un système d'équations linéaires en algèbre linéaire numérique. Il est principalement utilisé pour les matrices volumineuses et clairsemées où les méthodes directes telles que l'élimination gaussienne sont inefficaces. La méthode nécessite que la matrice soit « diagonalement dominante » pour garantir la convergence.

💡

Pro Tips

Diagonalement dominant : la magnitude de l'élément diagonal doit être supérieure à la somme des magnitudes des autres éléments de cette rangée.
Synchrone : à chaque étape, chaque variable est mise à jour en utilisant les valeurs de l'itération PRÉCÉDENTE.
Parallèle : Jacobi est hautement parallélisable car la mise à jour d'une variable ne dépend pas de la mise à jour d'une autre à l'étape en cours.

Fun Facts

"Carl Gustav Jacob Jacobi a développé cette méthode au milieu du XIXe siècle."
"La méthode Jacobi est à la base de solveurs plus avancés comme SOR (Successive Over-Relaxation)."
"Il est largement utilisé en physique computationnelle pour résoudre les équations de chaleur et d’ondes."

Formula: xᵢ⁽ᵏ⁺¹⁾ = (1/aᵢᵢ) (bᵢ - Σⱼ≠ᵢ aᵢⱼ xⱼ⁽ᵏ⁾)

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Step

Approx X

Approx Y

0.000

1.4000

1.3750

0.8500

1.0600

1.0562

0.9775

1.0090

1.0084

0.9966

1.0013

0.9995

1.0002

0.9999