Décomposition partielle des fractions

Apprenez à décomposer des expressions rationnelles complexes en fractions plus simples.

Common Forms

Linear Factors:

1 / ((x-a)(x-b)) = A/(x-a) + B/(x-b)

Repeated Linear:

1 / (x-a)² = A/(x-a) + B/(x-a)²

Quadratic Factor:

1 / (x² + ax + b) = (Ax + B) / (x² + ax + b)

Step-by-Step Example

Problem: Decompose (5x - 4) / ((x - 2)(x + 1))

Assume: (5x - 4) / ((x - 2)(x + 1)) = A/(x - 2) + B/(x + 1)
Multiply by denominator: 5x - 4 = A(x + 1) + B(x - 2)
Set x = 2: 5(2) - 4 = A(3) ⇒ 6 = 3A ⇒ A = 2
Set x = -1: 5(-1) - 4 = B(-3) ⇒ -9 = -3B ⇒ B = 3
Result: 2/(x - 2) + 3/(x + 1)

Qu’est-ce que la décomposition de fractions partielles ?

La décomposition en fraction partielle est une procédure utilisée pour réduire le degré du numérateur ou du dénominateur d'une fraction rationnelle. Ceci est particulièrement utile pour intégrer des fonctions rationnelles et trouver des transformées de Laplace inverses.

💡

Pro Tips

Le degré du numérateur doit être inférieur au degré du dénominateur.
Factorisez d’abord complètement le dénominateur.
S'il y a des facteurs répétés, utilisez plusieurs termes (par exemple, A/(x-r) + B/(x-r)²).

Fun Facts

"Cette technique a été popularisée par Bernoulli et Euler lors du développement des techniques d'intégration."
"Il s’agit d’un processus inverse consistant à trouver un dénominateur commun et à additionner des fractions."

Formula: P(x)/Q(x) = A/(x-r₁) + B/(x-r₂) + ...

Used with this

Similar tools that might be useful

Convertisseur de formes de nombres complexes

Convertissez entre les formes rectangulaires (a + bi) et polaires (r∠θ) de nombres complexes.

Calculateur de triangles AAA

Analysez la proportionnalité et la similarité des triangles lorsque les trois angles sont connus.

Calculateur de triangle AAS

Résolvez un triangle lorsque deux angles et un côté non inclus sont connus.