Decomposizione parziale della frazione

Impara come scomporre espressioni razionali complesse in frazioni più semplici.

Common Forms

Linear Factors:

1 / ((x-a)(x-b)) = A/(x-a) + B/(x-b)

Repeated Linear:

1 / (x-a)² = A/(x-a) + B/(x-a)²

Quadratic Factor:

1 / (x² + ax + b) = (Ax + B) / (x² + ax + b)

Step-by-Step Example

Problem: Decompose (5x - 4) / ((x - 2)(x + 1))

Assume: (5x - 4) / ((x - 2)(x + 1)) = A/(x - 2) + B/(x + 1)
Multiply by denominator: 5x - 4 = A(x + 1) + B(x - 2)
Set x = 2: 5(2) - 4 = A(3) ⇒ 6 = 3A ⇒ A = 2
Set x = -1: 5(-1) - 4 = B(-3) ⇒ -9 = -3B ⇒ B = 3
Result: 2/(x - 2) + 3/(x + 1)

Cos'è la decomposizione parziale della frazione?

La scomposizione parziale della frazione è una procedura utilizzata per ridurre il grado del numeratore o del denominatore di una frazione razionale. Ciò è particolarmente utile per integrare funzioni razionali e per trovare trasformate di Laplace inverse.

💡

Pro Tips

Il grado del numeratore deve essere inferiore al grado del denominatore.
Fattorizza per primo il denominatore.
Non dimenticare il + C! Senza di esso, hai trovato solo un antiderivativo specifico.

Fun Facts

"Questa tecnica è stata resa popolare da Bernoulli ed Eulero durante lo sviluppo delle tecniche di integrazione."
"È un processo inverso per trovare un denominatore comune e aggiungere frazioni."

Formula: P(x)/Q(x) = A/(x-r₁) + B/(x-r₂) + ...

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