Częściowy rozkład frakcji

Dowiedz się, jak podzielić złożone wyrażenia wymierne na prostsze ułamki.

Common Forms

Linear Factors:

1 / ((x-a)(x-b)) = A/(x-a) + B/(x-b)

Repeated Linear:

1 / (x-a)² = A/(x-a) + B/(x-a)²

Quadratic Factor:

1 / (x² + ax + b) = (Ax + B) / (x² + ax + b)

Step-by-Step Example

Problem: Decompose (5x - 4) / ((x - 2)(x + 1))

Assume: (5x - 4) / ((x - 2)(x + 1)) = A/(x - 2) + B/(x + 1)
Multiply by denominator: 5x - 4 = A(x + 1) + B(x - 2)
Set x = 2: 5(2) - 4 = A(3) ⇒ 6 = 3A ⇒ A = 2
Set x = -1: 5(-1) - 4 = B(-3) ⇒ -9 = -3B ⇒ B = 3
Result: 2/(x - 2) + 3/(x + 1)

Co to jest rozkład częściowy?

Rozkład ułamków częściowych to procedura stosowana w celu zmniejszenia stopnia licznika lub mianownika ułamka wymiernego. Jest to szczególnie przydatne przy całkowaniu funkcji wymiernych i znajdowaniu odwrotnych transformat Laplace'a.

💡

Pro Tips

Stopień licznika musi być niższy od stopnia mianownika.
Najpierw całkowicie uwzględnij mianownik.
Nie zapomnij o +C! Bez tego znalazłeś tylko jedną konkretną funkcję pierwotną.

Fun Facts

"Technikę tę spopularyzowali Bernoulli i Euler podczas rozwoju technik integracyjnych."
"Jest to odwrotny proces znajdowania wspólnego mianownika i dodawania ułamków."

Formula: P(x)/Q(x) = A/(x-r₁) + B/(x-r₂) + ...

Used with this

Similar tools that might be useful

Konwerter postaci liczb zespolonych

Convert between rectangular (a + bi) and polar (r∠θ) forms of complex numbers.

Kalkulator trójkąta AAA

Przeanalizuj proporcjonalność i podobieństwo trójkątów, gdy znane są wszystkie trzy kąty.

Kalkulator trójkąta AAS

Rozwiąż trójkąt, gdy znane są dwa kąty i jeden bok nieuwzględniony.