Decomposição de frações parciais

Aprenda como dividir expressões racionais complexas em frações mais simples.

Common Forms

Linear Factors:

1 / ((x-a)(x-b)) = A/(x-a) + B/(x-b)

Repeated Linear:

1 / (x-a)² = A/(x-a) + B/(x-a)²

Quadratic Factor:

1 / (x² + ax + b) = (Ax + B) / (x² + ax + b)

Step-by-Step Example

Problem: Decompose (5x - 4) / ((x - 2)(x + 1))

Assume: (5x - 4) / ((x - 2)(x + 1)) = A/(x - 2) + B/(x + 1)
Multiply by denominator: 5x - 4 = A(x + 1) + B(x - 2)
Set x = 2: 5(2) - 4 = A(3) ⇒ 6 = 3A ⇒ A = 2
Set x = -1: 5(-1) - 4 = B(-3) ⇒ -9 = -3B ⇒ B = 3
Result: 2/(x - 2) + 3/(x + 1)

O que é decomposição de frações parciais?

A decomposição em frações parciais é um procedimento usado para reduzir o grau do numerador ou do denominador de uma fração racional. Isto é particularmente útil na integração de funções racionais e na determinação de transformadas inversas de Laplace.

💡

Pro Tips

O grau do numerador deve ser menor que o grau do denominador.
Fatore o denominador completamente primeiro.
Se houver fatores repetidos, use vários termos (por exemplo, A/(x-r) + B/(x-r)²).

Fun Facts

"Esta técnica foi popularizada por Bernoulli e Euler durante o desenvolvimento de técnicas de integração."
"É um processo inverso de encontrar um denominador comum e adicionar frações."

Formula: P(x)/Q(x) = A/(xr₁) + B/(xr₂) + ...

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