Частичное разложение фракций

Научитесь разбивать сложные рациональные выражения на более простые дроби.

Common Forms

Linear Factors:

1 / ((x-a)(x-b)) = A/(x-a) + B/(x-b)

Repeated Linear:

1 / (x-a)² = A/(x-a) + B/(x-a)²

Quadratic Factor:

1 / (x² + ax + b) = (Ax + B) / (x² + ax + b)

Step-by-Step Example

Problem: Decompose (5x - 4) / ((x - 2)(x + 1))

Assume: (5x - 4) / ((x - 2)(x + 1)) = A/(x - 2) + B/(x + 1)
Multiply by denominator: 5x - 4 = A(x + 1) + B(x - 2)
Set x = 2: 5(2) - 4 = A(3) ⇒ 6 = 3A ⇒ A = 2
Set x = -1: 5(-1) - 4 = B(-3) ⇒ -9 = -3B ⇒ B = 3
Result: 2/(x - 2) + 3/(x + 1)

Что такое частичное дробное разложение?

Разложение дроби на частичные дроби — это процедура, используемая для уменьшения степени числителя или знаменателя рациональной дроби. Это особенно полезно при интегрировании рациональных функций и поиске обратных преобразований Лапласа.

💡

Pro Tips

Степень числителя должна быть ниже степени знаменателя.
Сначала полностью разложите знаменатель.
Если есть повторяющиеся факторы, используйте несколько терминов (например, A/(x-r) + B/(x-r)²).

Fun Facts

"Этот метод был популяризирован Бернулли и Эйлером во время разработки методов интегрирования."
"Это обратный процесс нахождения общего знаменателя и сложения дробей."

Formula: P(x)/Q(x) = A/(x-r₁) + B/(x-r₂) + ...

Used with this

Similar tools that might be useful

Конвертер форм комплексных чисел

Преобразование между прямоугольной (a + bi) и полярной (r∠θ) формами комплексных чисел.

Калькулятор треугольника AAA

Проанализируйте пропорциональность и подобие треугольника, когда известны все три угла.

Калькулятор треугольника AAS

Решите треугольник, зная два угла и одну невключенную сторону.